APLIKASI MATEMATIKA DALAM KESEHATAN 2

TUGAS MATEMATIKA

APLIKASI MATEMATIKA DALAM KESEHATAN

DISUSUN OLEH :

Nama : Dorin Mutoif

NPM : 0806384084

DEPARTEMEN KESEHATAN DAN KESELAMATAN KERJA

FAKULTAS KESEHATAN MASYARAKAT

UNIVERSITAS INDONESIA

2008

Pengertian ilmu dan Sejarah Matematika

Definisi ilmu adalah pengetahuan yang teratur tentang pekerjaan hukum sebab-akibat dalam suatu golongan masalah yang sama sifatnya, baik menurut kedudukannya (apabila dilihat dari luar), maupun menurut hubungannya (jika dilihat dari dalam).

--Mohammad hatta—

Definisi ilmu dapat dimaknai sebagai akumulasi pengetahuan yang disistematisasikan

-------Suatu pendekatan atau metode pendekatan terhadap seluruh dunia empiris.Ilmu dapat diamati panca indera manusia ------- Suatu cara menganalisis yang mengizinkan kepada para ahlinya untuk menyatakan -suatu proposisi dalam bentuk: "jika,...maka..."

--Harsojo, Guru Besar Antropolog, Universitas Pajajaran--

Definisi ilmu bergantung pada cara kerja indera-indera masing-masing individu dalam menyerap pengetahuan dan juga cara berpikir setiap individu dalam memroses pengetahuan yang diperolehnya. Selain itu juga, definisi ilmu bisa berlandaskan aktivitas yang dilakukan ilmu itu sendiri. Kita dapat melihat hal itu melalui metode yang digunakannya.

Sifat-sifat ilmu

Dari definisi yang diungkapkan Mohammad Hatta dan Harjono di atas, kita dapat melihat bahwa sifat-sifat ilmu merupakan kumpulan pengetahuan mengenai suatu bidang tertentu yang...

1. Berdiri secara satu kesatuan,
2. Tersusun secara sistematis,
3. Ada dasar pembenarannya (ada penjelasan yang dapat dipertanggung jawabkan disertai sebab-sebabnya yang meliputi fakta dan data),
4. Mendapat legalitas bahwa ilmu tersebut hasil pengkajian atau riset.
5. Communicable, ilmu dapat ditransfer kepada orang lain sehingga dapat dimengerti dan dipahami maknanya.
6. Universal, ilmu tidak terbatas ruang dan waktu sehingga dapat berlaku di mana saja dan kapan saja di seluruh alam semesta ini.
7. Berkembang, ilmu sebaiknya mampu mendorong pengetahuan-pengatahuan dan penemuan-penemuan baru. Sehingga, manusia mampu menciptakan pemikiran-pemikiran yang lebih berkembang dari sebelumnya.

Dari penjelasan di atas, kita dapat melihat bahwa tidak semua pengetahuan dikategorikan ilmu. Sebab, definisi pengetahuan itu sendiri sebagai berikut: Segala sesuatu yang datang sebagai hasil dari aktivitas panca indera untuk mengetahui, yaitu terungkapnya suatu kenyataan ke dalam jiwa sehingga tidak ada keraguan terhadapnya, sedangkan ilmu menghendaki lebih jauh, luas, dan dalam dari pengetahuan.

Mengapa ilmu hadir?

Pada hakekatnya, manusia memiliki keingintahuan pada setiap hal yang ada maupun yang sedang terjadi di sekitarnya. Sebab, banyak sekali sisi-sisi kehidupan yang menjadi pertanyaan dalam dirinya. Oleh sebab itulah, timbul pengetahuan (yang suatu saat) setelah melalui beberapa proses beranjak menjadi ilmu.

Bagaimanakah manusia mendapatkan ilmu?

Manusia diciptakan oleh Yang Maha Kuasa dengan sempurna, yaitu dilengkapi dengan seperangkat akal dan pikiran. Dengan akal dan pikiran inilah, manusia mendapatkan ilmu, seperti ilmu pengetahuan sosial, ilmu pertanian, ilmu pendidikan, ilmu kesehatan, dan lain-lain. Akal dan pikiran memroses setiap pengetahuan yang diserap oleh indera-indera yang dimiliki manusia.

Dengan apa manusia memperoleh, memelihara, dan meningkatkan ilmu?

Pengetahuan kaidah berpikir atau logika merupakan sarana untuk memperoleh, memelihara, dan meningkatkan ilmu. Jadi, ilmu tidak hanya diam di satu tempat atau di satu keadaan. Ilmu pun dapat berkembang sesuai dengan perkembangan cara berpikir manusia.

Tentang Penulis: AsianBrain.com Content Team. Asian Brain adalah pusat pendidikan Internet Marketing PERTAMA & TERBAIK di Indonesia. Didirikan oleh Anne Ahira yang kini menjadi ICON Internet Marketing Indonesia. Kunjungi situsnya: www.AsianBrain.com

Konsep ilmu sudah banyak digagas oleh para ilmuwan, baik ilmuwan yang hidup pada zaman dahulu maupun ilmuwan yang hidup pada masa sekarang. Ilmuwan Indonesia pun tidak ketinggalan, mereka telah menyumbangkan konsep ilmu bagi khazanah intelektual di negeri ini khususnya dan di dunia umumnya.

Konsep ilmu menurut para ahli

• Mulyadhi Kartanegara (2000)

Konsep ilmu dalam Islam meliputi yang ghaib (metafisik) dan nyata (fisik) yang diperoleh melalui indera, akal, dan intuisi/nalar.

• Afzalur Rahman

Konsep ilmu menurut penulis buku Ensiklopediana Ilmu dalam Al-Quran ini adalah: "... Ilmu dapat menggapai Sang Pencipta melalui observasi yang teliti dan tepat tentang hukum-hukum yang mengatur alam ini."

• Al Ghazali

Dalam Ihya' Ulumuddin, Al Ghazali mengungkapkan tentang konsep ilmu. Menurutnya, ilmu terbagi ke dalam dua bagian, yaitu:

1. Ilmu-ilmu yang berkaitan dengan aqidah dan ibadah wajib. Setiap orang wajib mendalami ilmu-ilmu tersebut (fardhu a'in).
2. Imu-ilmu yang berkaitan dengan ruang public, misalnya: ilmu kedokteran, ilmu sosiologi, ilmu komputer, dan lain-lain. Tidak semua orang wajib mempelajari ilmu-ilmu tersebut. Beberapa orang saja yang mempelajarinya sudah cukup (fardhu kifayah).
• Danah Johar dan Ian Marshal

Dua ilmuwan ini mengungkapkan dalam bukunya yang berjudul SQ (Kecerdasan Spiritual) bahwa ilmu pengetahuan membantu manusia untuk memahami hal-hal yang bersifat spiritual.

• Plato
  Konsep ilmu yang digagas oleh Plato, yaitu konsep ide sebagai realitas sejati. Adapun pengalaman dan penelitian merupakan ingatan dari dunia ide.
• Anaximandros
  Dia berpendapat bahwa: "Semua adalah yang tak terbatas".
• Thales dari Milletos

Ilmuwan yang satu ini mennyanpaiakan konsep ilmu sebagai berikut, "Semua adalah air".

• Aristoteles
  Murid Plato ini menyumbangkan pemikirannya yang berseberangan dengan Sang Guru. Konsep ilmu yang ditawarkan mengenai realitas sejati merupakan hasil dari melihat, mengamati, mendengar, dan meneliti suatu objek. Kemudian, akal pikiranlah yang akan mengolah menjadi suatu kesadaran.

Konsep ilmu dalam pandangan Al-Quran dan Bibel

• Konsep ilmu di dalam Al-Quran

"Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya siang dan malam, terdapat tanda-tanda bagi orang yang berakal. (Yaitu) Orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadaan berbaring, dan mereka memikirkan penciptaan langit dan bumi ..." (Al-Quran, Surah Ali-Imran [3]: 190-191)

• Konsep ilmu di dalam Bibel

"Beranakcuculah dan bertambah banyak; penuhilah bumi dan taklukanlah itu, berkuasalah atas ikan-ikan di laut dan burung-burung di udara dan segala binatang yang merayap di bumi". (Al-Kitab Kejadian 1:28b).

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan, dan ruang; tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka'. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika.

Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikus sering mempunyai berasal dari ilmu pengetahuan alam, sangat umum di fisika, tetapi mathematikus juga menegaskan dan menyelidiki struktur untuk sebab hanya dalam saja sampai ilmu pasti, karena struktur mungkin menyediakan, untuk kejadian, generalisasi pemersatu bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikus belajar bidang dilakukan mereka untuk sebab yang hanya estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

Sejarah matematika

Cakupan pengkajian yang disebut sebagai sejarah matematika adalah terutama berupa penyelidikan terhadap asal muasal temuan baru di dalam matematika, di dalam ruang lingkup yang lebih sempit berupa penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika baku di masa silam.

Sebelum zaman modern dan pengetahuan yang tersebar global, contoh-contoh tertulis dari pembangunan matematika yang baru telah mencapai kemilaunya hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang pernah ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka tahun 1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka tahun 1850 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir yang berangka tahun 1650 SM), dan Shulba Sutra (Matematika India yang berangka tahun 800 SM).

Semua tulisan yang bersangkutan memusatkan perhatian kepada apa yang biasa dikenal sebagai Teorema Pythagoras, yang kelihatannya sebagai hasil pembangunan matematika yang paling kuno dan tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.

Apakah matematika?

Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmetika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, - 2, ..., dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.

Silakan baca kutipan-kutipan lama atau kuno di:

• Is Mathematics Beautiful?
• Do We Need Mathematics?

Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan

Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.

Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.

Apakah matematika ilmu yang 'sulit'?

Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.

Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.

Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.

Matematika sebagai bahasa

Di manakah letak semua konsep-konsep matematika, misalnya letak bilangan 1? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar Teori Model (lihat model matematika) yg juga mendalami filosofi di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara universal terdapat di dalam pikiran setiap manusia.

Jadi yang dipelajari dalam matematika adalah berbagai simbol dan ekspresi untuk mengkomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi simbol bilangan 3 dengan mengatakan "Telu", sedangkan dalam bahasa Indonesia, bilangan tersebut disimbolkan melalui ucapan "Tiga". Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) komunikasi, bukan sains.

Dalam pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filosofi matematika.

Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam, dan sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yg kompleks, khususnya berbagai fenomena alam yang teramati, agar pola struktur, perubahan, ruang dan sifat-sifat fenomena bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yg sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku atau proses fenomena fisik tersebut biasa disebut model matematika dari fenomena.

Ikhtisar

Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.

Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.

Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois.

Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.

Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial.

Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya.

Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.

Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.

Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.

Topik dalam matematika

daftar bahasan dalam matematika dan subklasifikasinya dapat dilihat dalam daftar alfabet.

Daftar topik dan sub klasifikasi dibawah ini merupakan gambaran matematika secara umum.

• Kuantitas

Pada dasarnya, topik dan ide ini menyajikan ukuran jelas dari bilangan atau kumpulan, atau jalan untuk menemukan semacam ukuran.

Bilangan – Bilangan dasar – Pi – Bilangan bulat – Bilangan rasional – Bilangan riil – Bilangan kompleks – Bilangan hiperkompleks – Quaternion – Oktonion – Sedenion – Bilangan hiperriil – Bilangan surreal – Bilangan urutan – Bilangan pokok – Bilangan P-adic – Rangkaian bilangan bulat – Konstanta matematika – Nama bilangan – Ketakterbatasan – Dasar – Sudut Jarum Jam

• Perubahan

Topik-topik berikut memberi cara untuk mengukur perubahan dalam fungsi matematika, dan perubahan antar angka.

Aritmetika – Kalkulus – Kalkulus vektor – Analisis – Persamaan diferensial – Sistem dinamis dan teori chaos – Daftar fungsi

• Struktur

Cabang berikut mengukur besar dan simetri angka, dan berbagai konstruk.

Aljabar abstrak – Teori bilangan – Geometri aljabar – Teori grup – Monoid – Analisis – Topologi – Aljabar linear – Teori grafik – Aljabar universal – Teori kategori – Teori urutan

• Ruang

Topik-topik berikut mengukur pendekatan visual kepada matematika dari topik lainnya.

Topologi – Geometri – Trigonometri – Geometri Aljabar – Geometri turunan – Topologi turunan – Topologi aljabar – Algebra linear – Geometri fraktal

• Matematika diskrit

Topik dalam matematika diskrit berhadapan dengan cabang matematika dengan objek yang dapat mengambil harga tertentu dan terpisah.

Kombinasi – Teori himpunan naif – Kemungkinan – Teori komputasi – Matematika terbatas – Kriptografi – Teori Gambar – Teori permainan

• Matematika terapan

Bidang-bidang dalam matematika terapan menggunakan pengetahuan matematika untuk mengatasi masalah dunia nyata.

Mekanika – Analisa Numerik – Optimisasi – Probabilitas – Statistik – Matematika Finansial (keuangan) – Metoda Numerik

• Konjektur dan teori-teori yang terkenal

Teorema-teorema itu telah menarik matematikawan dan dan yang bukan matematikawan.

Teori terakhir Fermat – Konjektur Goldbach – Konjektur Utama Kembar – Teorema ketidaklengkapan Gödel – Konjektur Poincaré – Argumen diagonal Cantor – Teorema empat warna – Lema Zorn – Identitas Euler – Konjektur Scholz – Tesis Church-Turing

• Teori dan konjektur penting

Di bawah ini adalah teori dan konjektur yang telah mengubah wajah matematika sepanjang sejarah.

Hipotesis Riemann – Hipotesis Continuum – P=NP – Teori Pythagorean – Central limit theorem – Teordi dasar kalkulus – Teori dasar aljabar – Teori dasar aritmetik – Teori dasar geometri proyektif – klasifikasi teorema permukaan – Teori Gauss-Bonnet

• Dasar dan metode

Topik yang membahas pendekatan ke matematika dan pengaruh cara matematikawan mempelajari subyek mereka.

Filsafat matematika – Intuisionisme matematika – Konstruktivisme matematika – Dasar matematika – Teori pasti – Logika simbol – Teori model – Teori kategori – Logika – Matematika kebalikan – Daftar simbol matematika

• Sejarah dunia para matematikawan

Sejarah matematika – Garis waktu matematika – Matematikawan – Medali bidang – Hadiah Abel – Masalah Hadiah Milenium (Hadiah Matematika Clay) – International Mathematical Union – Pertandingan matematika – Pemikiran lateral – Kemampuan matematika dan masalah gender

• Matematika dan bidang lainnya

Matematika dan arsitektur – Matematika dan pendidikan – Matematika skala musik

• Kejadian Kebetulan Matematika

Daftar Kejadian Kebetulan Matematika

• Peralatan Matematika

Dulu:

• Abacus
• Tulang Napier, Jangka sorong
• Penggaris dan Kompas
• Perhitungan biasa

Sekarang:

• Kalkulator dan komputer
• Bahasa pemrograman
• Sistem komputer aljabar (listing)
• Notasi sederhana Internet
• Analisis statistik software
• SPSS
• SAS
• R

Kutipan

Menurut metode aksiomatik, di mana sifat-sifat tertentu (sebaliknya tak dikenal) struktur diambil dan kemudian secara logis akibat dari itu kenudian secara logika diturunkan, Bertrand Russell berkata:

"Matematika dapat didefinisikan sebagai subyek yang mana kita tidak pernah tau tentang apa yang sedang kita bicarakan, maupun apa yang tidak kita katakan benar".

Mungkin ini menjelaskan mengapa John von Neumann berkata suatu kali:

"Dalam matematika Anda takkan memahami hal. Anda benar-benar mengambilnya dulu".

Tentang indahnya matematika, Bertrand Russell berkata dalam Study of Mathematics:

"Matematika, sudah sepantasnya dipandang, tak hanya memiliki kebenaran, namun keindahan tertinggi – dingin dan cermat yang bagus, seperti pahatan itu, tanpa menarik setiap bagian sifat lemah kita, tanpa hiasan indah lukisan atau musik, masih murni sama sekali, dan kemampuan kesempurnaan keras seperti hanya seni terbesar dapat mempertunjukkan. Jiwa kesenangan yang sesungguhnya, keagungan, arti badan lebih daripada manusia, yang merupakan batu ujian keunggulan tertinggi, untuk ditemukan dalam matematika seperti tentu saja puisi".

Menguraikan simetri antara aspek penciptaan dan logika matematika, W.S. Anglin mengamati, dalam Mathematics and History:

"Matematika bukanlah gerakan turun hati-hati jalan raya yang bebas, namun perjalanan dalam hutan belantara yang asing, di mana penjelajah sering kehilangan. Kekerasan akan menjadi tanda untuk sejarawan yang mana peta telah dibuat, dan penjelajah sesungguhnya telah pergi ke tempat lain".

Fakta penting: "Matematika bukan..."

Matematika bukan numerologi. Walau numerologi memakai aritmetika modular untuk mengurangi nama dan data pada bilangan digit tunggal, numerologi secara berubah memberikan emosi atau ciri pada bilangan tanpa mengacaukan untuk membuktikan penetapan dalam gaya logika. Matematika ialah mengenai gagasan pembuktian atau penyangkalan dalam gaya logika, namun numerologi tidak. Interaksi antara secara berubah emosi penentuan bilangan secara intuitif diperkirakan daripada yang telah diperhitungkan secara seksama.

Matematika bukan akuntansi. Meskipun perhitungan aritmetika sangat krusial dalam pekerjaan akuntansi, utamanya keduanya mengenai pembuktian yang mana perhitungan benar melalui sistem pemeriksaan ulang. Pembuktian atau penyangkalan hipotesis amat penting bagi matematikawan, namun tak sebanyak akuntan. Kelanjutan dalam matematika abstrak menyimpang pada akuntansi jika penemuan tak dapat diterapkan pada pembuktian efisiensi tata buku konkret.

Matematika bukan sains, karena kebenaran dalam matematika tidak memerlukan pengamatan empiris

Matematika bukan fisika, karena fisika adalah sains.

Aplikasi Matematika Dalam Dunia Kesehatan

Polyak, Teori Matematikanya Membantu Bidang Kesehatan

Siapa bilang matematika tidak bisa diaplikasikan langsung dalam kehidupan kita? Dr. Roman Polyak seorang matematikawan membuktikan bahwa teori matematikanya bisa “diterjemahkan” sehingga membantu pengobatan kanker.

Polyak sendiri terkesima dengan kemajuan sains tersebut. “Saya tak pernah bermimpi. 25 tahun silam sangat jarang matematika abstrak bisa digunakan mengobati kanker,” ujarnya.

Polyal menekuni bidang optimisasi matematika, yakni bidang yang membuat sesuatu efektif sebisa mungkin. Bidang ini sudah ditekuni para ilmuwan sejak zaman Yunani kuno.

Polyak mempelajarinya sejak 25 tahun lalu dengan mengembangkan teori Ronlinear Rescaling (NR) untuk menyelesaikan problem optimisasi. Metode ini cukup esensial untuk menyelesaikan problem teknologi di dunia nyata yang rumit dengan ribuan variabel.

Rembert Reemtsen dan Markus Alber belum lama ini menggunakan NR untuk meningkatkan efisiensi pengobatan tumor kanker dengan radiasi. Pengobatan itu menggunakan optimisasi untuk menetapkan sudut, intensitas dan durasi sinar radiasi yang paling efektif untuk menghancurkan tumor-tumor tanpa merusak jaringan sehat di dekatnya.

Perjuangan

Peranti lunak yang menggunakan dasar NR telah dikembangkan ke dalam sistem radioterapi dan dipakai di banyak rumah sakit. Metode ini memungkinkan akurasi hingga 10 digit, bukan hanya berguna bagi pengobatan kanker tapi juga obat-obatan lain. Dalam optimisasi struktural, metode ini menyelesaikan sebagian besar problem desain dengan 5000 variabel dan 200.000 desakan. Pemrosesan citra, diagnosa medis, dan penemuan distribusi optimal pada energi melalui jaringan listrik hanya sedikit manfaat aplikasinya.

Namun kesuksesan ini tidak datang dengan mudah bagi Polyak. Tahun 1980 ia dipecat dari pekerjaannya di Kiev, Ukraina, karena keinginannya berimigrasi keluar dari Uni Soviet. Ia juga dilarang melakukan riset di wilayah Uni Soviet, bahkan juga tidak bisa mempublikasikan papernya ke luar.

Selama masa itu Polyak merasa hanya teman-teman dekat dan keluarganya saja yang bisa memahaminya. Sebelum kehilangan jabatannya ia sempat mempublikasikan sejumlah paper dan diterjemahkan ke bahasa Inggris. Berkat bantuan teman-temannya Polyak mempublikasikan paper Modified Barrier Function (MBF) ke luar Soviet.

Paten

Saat ia beremigrasi ke AS, Polyak dibantu temannya bergabung dengan IBM T. J. Watson Research Center. Di sinilah pada awal 1990-an paper MBF-nya dipraktikan dan dipublikasikan kembali tahun 1992 di jurnal Mathematical Programming. Polyak melanjutkan teori-teori

Tahun 2006, ia bersama rekannya Igor Griva, mempublikasikan paper bertajuk Exterior Point Method di jurnal Mathematical Programming. Di sini dibahas tentang solusi yang lebih cepat dan akurat untuk problem berskala besar. Tahun lalu, mereka memperoleh paten aplikasi ini di AS.

Saat ini Polyak tengah menulis sebuah buku mengenai hasil-hasil studi NR selama seperempat abad terakhir. “Saya sangat bahagia bahwa temuan matematika saya telah digunakan untuk sejumlah aplikasi penting, ujar Polyak.

Penggunaan Pohon Biner dalam Pemodelan Struktur Statistik

Mata Manusia

Makalah ini membahas perkembangan terbaru dalam aplikasi matematika diskrit, yaitu tentang penggunaan struktur pohon untuk memodelkan struktur statistik mata manusia yang digunakan pada detektor mata. Pohon yang digunakan adalah pohon biner, dengan pembangunan dari atas ke bawah. Pada tiap tingkat, fitur dikelompokkan menjadi subset-subset berdasarkan informasi mutual perpasangannya, dan subpohon dibangun dengan mengesampingkan subset-subset paling independen secara berturut-turut. Prosedur ini dulangi sampai semua fitur didalam node daun memilik informasi mutual yang cukup tinggi. Detektor mata hasil dari implementasi algoritma pohon biner ini lalu diaplikasikan pada gambar wajah dan gambar dengan latar belakang kompleks, serta diaplikasikan pada

skenario pengendara mobil dengan penggunaan video kamera.

Deteksi mata manusia merupakan teknologi yang sangat menarik. Pengaplikasian teknologi ini di masa depan akan sangat berguna. Teknologi ini dapat digunakan untuk mendeteksi kelelahan pengemudi kendaraan dari gerakan-gerakan mata, untuk mencegah kecelakaan lalu lintas. Mata juga dapat memberikan informasi identitas seseorang yang tidak bisa dipalsukan. Ada dua pendekatan umum dalam deteksi mata, yaitu pendekatan berdasarkan gambar dan pendekatan berdasarkan kamera Infra Red. Pada pendekatan pertama, mata dideteksi berdasarkan distribusi intensitas, dengan asumsi mata memiliki perbedaan tampilan dengan bagian muka yang lainnya. Pendekatan tersebut tidak memerlukan disinari dengan efek red-eye. Kesuksesan dari pendekatan ini tergantung pada subjek, jarak mata ke kamera, dan cahaya eksternal. Hal ini membuat iluminasi pada lingkungan outdoor menjadi sulit.

Problem ini dapat diatasi dengan pengunaan metode pengelompokkan berdasarkan perpasangan informasi mutual antara fitur untuk memisahkan fitur yang kurang dependen kepada subset yang berbeda. Statistik dari sebuah subset fitur direpresentasikan oleh kombinasi beberapa node dan subpohonnya. Subpohon dari sebuah node parent memodelkan statistik dari dua subset yang meng-cover, dimana bagian yang tidak meng-cover adalah subset independen kondisional. Probabilitas diestimasi oleh metode non-parameter, berdasarkan struktur statistik yang digambarkan oleh pohon tersebut. Pohon tersebut dibentuk dari atas ke bawah, dan distribusi objek dari bawah ke atas. Mata dideteksi dengan Standar Bayesian. -

2. PEMBUATAN POHON BINER

Pada tiap tingkat, fitur-fitur dipartisi menjadi subsetsubset berdasarkan dependensi statistiknya. Anggap set dari sebuah fitur adalah Xs, dan kita dapat membaginya menjadi subset Xs1,Xs2,Xs3,…,Xslk berdasarkan mutual dependensinya. Bila ada dua subset yang titik pertengahannya memasangkan informasi mutual kurang dari sebuah batas tertentu ��, nodenya tetap tidak cukup padat secara statistik. Jadi, dekomposisi masih tetap dibutuhkan. Tanpa menghilangkan keadaan umum, kita menunjuk kedua subset tersebut sebagai Xsl1 dan Xsl2. Jika nilai �� cukup rendah, dependensi antara Xsl1 dan Xsl2 dapat diabaikan. Bagaimanapun juga kedua subset tetap memiliki dependensi yang cukup dengan subsetsubset yang tersisa. Ini mengartikan Xsl1 dan Xsl2 dapat dianggap sebagai independen kondisional berkenaan pada gabungan subset yang tersisa ��i��1,2Xsli. Pohon Biner dibangun dengan ��i��1,2Xsli sebagai node parent dan ��i��1Xsli serta ��i��2Xsli sebagai subpohonnya. Kedua subset yang diganti sebenarnya adalah Xs\Xsl1 dan Xs\Xsl2.

Gambar 1: Ilustrasi pembangunan pohon biner. iluminasi khusus, namun membutuhkan beberapa model terdefinisi, seperti warna dan geometri. Pada pendekatan kedua, properti fisiologis mata digunakan. Dengan menggunakan iluminasi Infra Red, pupil

Struktur pohon diatas menggambarkan dependensi mutual antara fitur-fitur. Tidak ada model dependensi untuk sample non-mata dikarenakan kekurangan struktur statistik. Sangatlah beralasan untuk menggunakan pohon dependensi yang sama untuk sample sample negatif. Bila dilakukan, mencocokkan sample negatif kedalam model menunjukkan deviasi dari pola sample positif.

2.1. Menemukan subset dengan dependensi terkecil

Setiap golongan objek memiliki beberapa kesamaanstruktur. Informasi tentang struktur membatasi dependensi antara fitur-fitur. Fitur dari substruktur berbeda diasumsikan kurang dependen. Informasi mutual adalah sebuah metrik untuk mengavaluasi dependensi mutual antara fitur-fitur. Informasi mutual didefinisikan dengan syarat entropi :

dimana H(X1) adalah entropi dari variable random Xi , i = 1, 2, dan H(X1 , X2) adalah entropi gabungan. Mereka didefinisikan sebagai berikut :

Informasi mutual sebenarnya adalah divergensi KL antara fungsi massa probabilitas gabungan P(X1 , X2) dengan produk dari fungsi massa probabilitas marjinal P(X1) dan P(X2) :

Definisi tersebut menunjukkan bahwa informasi mutual mengukur jumlah informasi yang dipegang oleh sebuah variable random tentang yang lainnya, atau dependensi mutual. Nilai maksimalnya akan dicapai bila ada pemetaan bijektif antar nilai X1 dengan X2. Di titik ekstrim lainnya, I(X1 , X2) menuju nol bila X1 dan X2 independen secara statistik. Dikarenakan hal ini, skema pengelompokkan yang diadaptasi dari algoritma pengelompokkan K-means tradisional dipakai. Dalam pengukuran jarak, digunakan fungsi pengurangan pasangan informasi mutual, lebih spesifiknya perbandingan terbalik dari informasi mutual. Bagaimanapun, K-means menggunakan sentroid dari kelompok untuk memperbaharui. Dikarenakan informasi mutual hanya terdefinisi pada bidang Xs, sentroid poin-poinnya menjadi tidak berarti. Jadi untuk setiap kelompok Xi, kita menggunakan fitur dengan jarak rata-rata terkecil. Karena property konvergen dari K-means hanya

menangani atribut numeric, diperlukan pengubahan acuan pemberhentian untuk memastikan konvergensi. Prosedur pengelompokan akan berhenti bila tidak ada poin yang merubah label kelompok. Metode pengelompokkan ini dapat menjamin bahwa pertengahan informasi mutual perpasangan antara subset-subset meningkat. Seperti di pengelompokkan K-means, jumlah kelompok harus disediakan sebelumnya. Jumlah kelompok ditentukan dengan menaikkan jumlahnya sampai informasi mutual perpasangan terendah antar subset yang berbeda mencapai batas ��secara iteratif. Prosedur pengelompokkan diatas dapat diringkas menjadi sebagai berikut :

1. Estimasi informasi mutual dari setiap pasang fitur di {Xs} oleh distribusi empirik, dengan menggunakan persamaan (4). Hitung perbandingan terbalik dari informasi mutual sebagai jarak antar titik :

2. Untuk c=3,…,K, lakukan pengelompokan dengan langkah sebagai berikut :

a. Pilih secara acak titik c dari X {Xs} sebagai bibit untuk kelompok c.

b. Inisiasi kesalahan ε dengan bilangan yang besar.

c. Selama ε > 0 :

i. Tentukan tiap poin XI pada kelompok yang berkorespondensi berdasarkan patokan tetangga terdekat, dengan menggunakan

ii. Hitung jumlah poin yang berganti label.

iii. Untuk tiap kelompok, cari poin dengan jarak rata-rata minimal dengan semua sisa poin di kelompok yang sama.

d. Hitung rata-rata informasi mutual perpasangan antar kelompok.

e. Cari kelompok dengan rata-rata informasi mutual perpasangan antar kelompok yang minimal, min Ic1,c2;

3. Jika min IC1,C2 < δ, stop;

4. Jika c = K dan min Ic1,c2 < δ, subsetnya cukup padat, yang mengartikan bahwa ini adalah sebuah node daun.

Prosedur ini memberikan kita sebuah partisi dari kelompok fitur berdasarkan informasi mutual perpasangannya. Jika subset-subset yang rata-rata informasi mutual perpasangan antara mereka cukup rendah, kedua subset tersebut dapat dianggap sebagai independen kondisional. Untuk tujuan ini, rata-rata informasi mutual perpasangan antara tiap dua subset diperiksa. Anggap untuk subset Xs1, ada subset Xsm yang memenuhi :

maka A = Xs1 dan adalah dua subset paling sedikit independen yang dipilih. Seperti yang pernah diperkenalkan sebelumnya, gabungan dari semua subset lain, C = Èm = 1,....., M Xsm disimpan sebagai current node. Gabungannya dengan dua subset independen kondisional, A dan B secara individual diberikan ke subpohon. Gambar 2 menunjukkan hasil dari dekomposisi struktur pohon pada dua tingkat pertama.

Gambar 2 : Ilustrasi dekomposisi struktur pohon.

3. EVALUASI EKSPERIMENTAL

Di bagian ini, akan dibahas kinerja algoritma ini.Dalam implementasinya, agar detektor mata yang dibangun memilik ketepatan tinggi dalam semua kondisi, image space yang orisinil digunakan, dan fitur dalam implementasinya adalah intensitas pixel dalam gambar.

3.1. Evaluasi Kinerja pada Gambar Wajah

Evaluasi ini adalah pemeriksaan kemampuan dari implementasi algoritma dalam membedakan mata dari bagian wajah yang lainnya. Hasil eksperimennya menunjukkan bahwa detektor mata yang dibangun dari algoritma tersebut dapat mencapai keberhasilan

deteksi sebesar 92.43%, dan kegagalan sebesar 7,26%. Eksperimen juga menunjukkan bahwa implementasi algoritma pohon biner ini mampu memberikan hasil akurat, yaitu dengan 84,64% dari keberhasilan deteksi memberikan hasil deteksi tepat ditengah bagian pupil. Gambar 3 menunjukkan contoh-contoh hasil eksperimen implementasi algoritma pohon biner dengan keakuratan tinggi (hasil deteksi tepat ditengah bagian pupil). Sedangkan gambar 4 menunjukkan contoh-contoh hasil eksperimen implementasi algoritma pohon biner dengan keakuratan lebih rendah (hasil deteksi tidak tepat ditengah bagian pupil). Gambar 5 menunjukkan hasil ekserimen implementasi algoritma pohon biner yang gagal mendeteksi mata. Yang menarik adalah algoritma ini bahkan mampu membedakan mata kiri dengan mata kanan. Hasil deteksi menunjukkan bahwa mata kanan hanya dideteksi sebanyak 5,99% dari jumlah eksperimen yang dilakukan, dan menunjukkan bahwa hampir semua eksperimen yang dilakukan menghasilkan deteksi mata kiri, dan secara langsung dapat membedakan kedua mata.

Gambar 3 : Hasil eksperimen implementasi algoritma pohon biner dengan keakuratan tinggi (Deteksi tepat ditengah bagian pupil).

Gambar 3 : Hasil eksperimen implementasi algoritma pohon biner dengan keakuratan lebih rendah (Deteksi tidak tepat ditengah bagian pupil).

Gambar 3 : Hasil eksperimen implementasi algoritma pohon

biner yang gagal mendeteksi mata

3.2. Evaluasi pada Latar Belakang Kompleks

Eksperimen juga dilakukan pada lingkungan yang akan memberikan latar belakang kompleks pada gambar yang diambil.Setiap gambar yang diambil hanya berisi satu orang. Bagian foto yang diambil hanya yang memiliki tekstur yang cukup, dan evaluasi tekstur dilakukan dengan menggunakan filter Laplacian. Hasil yang didapat dari evaluasi gambar berlatar belakang kompleks ini cukup baik. Gambar 6 menunjukkan hasil eksperimen pada latar belakang kompleks yang berhasil mendeteksi mata, sedangkan gambar 7 menunjukkan hasil eksperimen pada latar belakang kompleks yang gagal mendeteksi mata.

Gambar 6 : Hasil eksperimen implementasi algoritma pohon

biner pada gambar berlatar belakang kompleks yang berhasil

mendeteksi mata.

Gambar 7 : Hasil eksperimen implementasi algoritma pohon biner pada gambar berlatar belakang kompleks yang gagal

mendeteksi mata.

3.3. Evaluasi pada Pengendara Mobil

Eksperimen juga dilakukan langsung pada skenario pengendara mobil, dengan memasang kamera video di dashboard mobil dan mengarah pada wajah pengendara dari sisi kanan. Hasil eksperimen diambil dari beberapa frame. Hasil yang didapat adalah banyaknya kesalahan deteksi, walaupun mata kanan juga berhasil dideteksi. Hal ini terjadi karena beberapa faktor, seperti gambar yang diambil bersifat noisy, dan juga bergantung pada pose kepala pengendaranya. Gambar 8 menunjukkan hasil eksperimen pada pengendara mobil.

Gambar 8 : Hasil eksperimen implementasi algoritma pohon

biner pada skenario pengendara mobil. Terjadi banyak

kesalahan deteksi.

4. KESIMPULAN

Pohon biner dapat digunakan dalam pemodelan struktur statistik dari mata manusia. Pada tiap tingkat, fitur dikelompokkan menjadi subset-subset berdasarkan informasi mutual perpasangannya, dan subpohon dibangun dengan mengesampingkan subsetsubset paling independen secara berturut-turut. Prosedur ini dulangi sampai semua fitur didalam node daun memilik informasi mutual yang cukup tinggi. Hal yang dijadikan fitur adalah intensitas piksel dalam gambar. Detektor mata hasil dari implementasi algoritma pohon biner ini lalu diaplikasikan pada gambar wajah dan gambar dengan latar belakang kompleks, dengan hasil eksperimennya memberikan tingkat keberhasilan deteksi yang tinggi dan tingkat kegagalan yang rendah. Pada eksperimen gambar wajah, tingkat keberhasilan deteksi mata adalah 92,43%, dan tingkat kegagalannya adalah 7,26%. Hasil eksperimen ini juga menunjukkan bahwa detetor mata hasil implementasi algoritma pohon biner tersebut dapat membedakan mata kanan dengan mata kiri, dan dapat menghasilkan deteksi mata dengan akurasi yang tinggi. Pada eksperimen gambar berlatar

belakang kompleks, digunakan filter Laplacian untuk menentukan tekstur yang cukup, dan hasil yang didapat cukup baik. Pada eksperimen yang dilakukan pada skenario pengendara mobil, hasilnya menunjukkan potensi detektor tersebut untuk diaplikasikan pada kendaraan pintar, yang diharapkan dapat mendeteksi kelelahan pengendara untuk mencegah kecelakaan lalu lintas. Aplikasi detektor mata ini juga diharapkan dapat dikembangkan untuk mendeteksi keadaan seseorang dari matanya, seperti kesehatan dan identitas. Untuk saat ini, biaya komputasi dari prosedur tersebut masih tergolong tinggi, sehingga diharapkan ada prosedur yang memiliki biaya komputasi rendah dan kecepatan

deteksi yang tinggi.

DAFTAR REFERENSI

[1] Munir, Rinaldi. (2006). Diktat Kuliah IF2153 Matematika Diskrit. Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung.

[2] T. D. Rikert, M. J. Jones and P. Viola, A Cluster-Based Statistical Model for Object Detection,Proceedings of the International Conference on Computer Vision-Volume 2 - Volume 2 Page:1046 Year of Publication: 1999

[3] H. Schneiderman and T. Kanade, Object Detection Using the Statistics of Parts, International Journal of Computer Vision archive Volume 56 , Issue 3, pp. 151 - 177, February-March 2004.

[4] K. Nguyen et. al., Differences in the Infrared Bright Pupil Response of Human Eyes, Proc.ETRA 2002 - Eye Tracking Research and Applications Symposium. New York, ACM. 2002, p. 133-56, March 2002.

[5] H. Schneiderman, Learning a Restricted Bayesian Network for Object Detection, IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, IEEE, June 2004.

[6] X. Liu, F. Xu and K. Fujimura. Real-Time Eye Detection and Tracking for Driver Observation Under Various Light Conditions, IEEE Intelligent Vehicle Symposium, Versailles, France, June 18-20, 2002.

Bibliografi

• Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? (1941);
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. Pengenalan lemah lembut pada dunia matematika.
• Gullberg, Jan, Mathematics--From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Peninjauan luas matematika yang bersifat ensiklopedis yang disajikan secara jelas, bahasa sederhana.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. Versi terjemahan dan pengembangan ensiklopedi matematika Uni Soviet, dalam 10 (mahal) jilid, pekerjaan terlengkap dan berwenang yang tersedia. Juga pada buku sampul tipis dan CD-ROM.
• Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1973);

• A mathematics, science, technology, and physics discussion forum
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. Panduan perjalanan melalui bermacam cabang matematika modern.
• Kamus matematika oleh proyek NRICH pada Universitas Cambridge (Britania Raya), Connecting Mathematics
• Weisstein, Eric et al.: MathWorld: World of Mathematics. Ensiklopedia matematika online, berfokus pada matematika klasik.
• Planet Math. Ensiklopedi matematika online yang sedang dibangun, berfokus pada matematika modern. Menggunakan lisensi GFDL, memberikan pertukaran artikel dengan Wikipedia. Menggunakan markup TeX.
• Stefanov, Alexandre: Textbooks in Mathematics. Daftar buku pelajaran dan catatan kuliah online bebas dalam matematika.
• Bogomolny, Alexander: Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Koleksi artikel besar dalam sejumlah topik matematika dengan lebih daripada 400 yang diilustrasikan dengan Java applets.
• Mathforge. News-blog dengan topik yang menyusun matematika populer pada fisika populer pada ilmu dan pendidikan komputer.
• Metamath. Situs dan bahasa, yang menyusun matematika dari dasarnya.

Di Posting Oleh : Dorin Mutoif, Jurusan AKL/JKL/KESLING/kESEHATAN LINGKUNGAN Politeknik Kesehatan DEPKES Yogyakarta..

Kesehatan dan Keselamatan Kerja, Fakultas Kesehatan Masyarakat Universitas Indonesia.

Munggu, Petanahan, Kebumen, Jawa Tengah, 54382